第7章 1次元の固有値問題 7.1 一般的性質 7.1.1 エネルギー固有値の縮退 1次元の束縛状態ではエネルギー固有値に縮退がない． これは次のようにしてわかる．1つのエネルギー固有値E に属する固有関数が2つ以上 あったと仮定しよう
行列の固有値問題 岡部洋一 2004 年10 月19 日 一般の行列の固有値問題、また、物理や工学でよく現われるHermite 行列、Unitary 行列、対 称行列、直交行列の固有値問題について、知っていると便利な知識を並べておく。起草: 2000 年4 前稿「J 言語 と 高等数学－固有値問題（直接法）を主に」（文献1）の続報を 提供する。 固有値問題とAPL／Jの関連の話題は余り見えないようだ。（文献2） 昔、大学の教養部の数学で、線形代数の最後に固有値問題 対称行列の固有値に対する簡便な精度保証法とその実装 電気通信大学情報工学科 山本野人 (Nobito Yamamot o) 概要 対称行列の固有値を、 その大きさの順位まで込めて精度保証付きで算定する方法の提案する。これは LDL 分解を用いた2 分法とその誤差解析に基づくもので、特に帯行列に対しては 数値解析における数値線形代数 (英: Numerical linear algebra) とは、線形代数で現れる問題 (行列積、行列指数関数、連立方程式や固有値・特異値問題) の計算・求解を行うアルゴリズムを創出するための学問である [1] [2] [3]。 1 一般固有値問題から学ぶ線形代数 線形代数学において、線形空間、基底、行列の固有値問題から、さらに一般固有値問題、 ジョルダンの標準形まで講義をすすめることは難しく、理科系教養の講義でも線形代数の 一部の紹介で終わってしまうことが多い。 問題の定式化 この節では、逆固有値問題を解くための定式化の手順を述べる。簡単のため 1 とする。まず、集合 と入力データの与え方に対する仮定を述べる。ここで、簡単な を挙げる。を次の固有値問題の固有値とする：
2016年9月7日 座学: 固有値問題の解法・固有値ソルバ/線形計算ライブラリ. 座学: Rokko の 実対称行列, 実非対称行列, エルミート行列, 非エルミート行列. 行列の格納方法 研究機構研究部門のホームページからダウンロードできます。 独立行政法人 立１次方程式あるいは大次元固有値問題に帰着する．ソル 大次元スパース対称固有値問題に対して有効なラン. チョス法 2),6),15)は ダブルシフト逆ベキ乗法による大次元スパース対称行列の固有解の一算定法 対角優位性の弱い有限要素解析における固有値問題に対 15) Nour-omid,B., Parlett,B.N. and Taylor, R.L.：Lanczos versus. ランチョス逆ベキ乗法によるスパース対称行列の中間固有解の一算定法 大次元スパース対称固有値問題に対して有効なラン. チョス法2 ト・ランチョス法2)は部分空間固有値問題を繰り返すこと 17) Nour-omid,B., Parlett,B.N. and Taylor, R.L.：Lanczos. 2015年6月24日 現リリース（バージョン 2.3c) では, 標準固有値問題と一般化固有値問題のいず. れに対しても全て からダウンロードし, make すると一般化固有値用のドライバモジュール KMATH_EIGEN_GEV.o が. 作成される. 対角化される対称行列. サブルーチン http://www.cc.u-tokyo.ac.jp/support/press/news/VOL11/No6/200911imamura.pdf [14] B. Parlett, “The Symmetric Eigenvalue Problem”, SIAM (1987). この文書 (GNU Scientific Library Reference Manual の日本語訳である、GNU 科学技術計算ラ. イブラリ リファレンス・ 14.4 実数の正定値対称行列の固有値問題 . CD-ROM を購入する、インターネットでダウンロードする、などである。GSL を置いて B.N. Parlett and C. Reinsch, “Balancing a Matrix for Calculation of Eigenvalues and.
ある日、行列を前にして、「さて、これを固有値分解。。。あれ、特異値分解。。？？？ん、そもそも固有値分解と特異値分解って何が違うんだっけ」と混乱に陥った。 そこで、もう一度、「何がどうちがうのか？」をおさらいしてみた。 行列の固有値問題 岡部洋一 2004 年10 月19 日 一般の行列の固有値問題、また、物理や工学でよく現われるHermite 行列、Unitary 行列、対 称行列、直交行列の固有値問題について、知っていると便利な知識を並べておく。起草: 2000 年4 前稿「J 言語 と 高等数学－固有値問題（直接法）を主に」（文献1）の続報を 提供する。 固有値問題とAPL／Jの関連の話題は余り見えないようだ。（文献2） 昔、大学の教養部の数学で、線形代数の最後に固有値問題 対称行列の固有値に対する簡便な精度保証法とその実装 電気通信大学情報工学科 山本野人 (Nobito Yamamot o) 概要 対称行列の固有値を、 その大きさの順位まで込めて精度保証付きで算定する方法の提案する。これは LDL 分解を用いた2 分法とその誤差解析に基づくもので、特に帯行列に対しては 数値解析における数値線形代数 (英: Numerical linear algebra) とは、線形代数で現れる問題 (行列積、行列指数関数、連立方程式や固有値・特異値問題) の計算・求解を行うアルゴリズムを創出するための学問である [1] [2] [3]。 1 一般固有値問題から学ぶ線形代数 線形代数学において、線形空間、基底、行列の固有値問題から、さらに一般固有値問題、 ジョルダンの標準形まで講義をすすめることは難しく、理科系教養の講義でも線形代数の 一部の紹介で終わってしまうことが多い。 問題の定式化 この節では、逆固有値問題を解くための定式化の手順を述べる。簡単のため 1 とする。まず、集合 と入力データの与え方に対する仮定を述べる。ここで、簡単な を挙げる。を次の固有値問題の固有値とする：
55 第7章 特異値分解とその応用 7.1 特異値分解 対角化およびスペクトル分解を一般化したジョルダン分解は，正方行列にのみ定義された．非正方行列 でさらに一般化された分解が特異値分解(singularvalue decomposition)である． 【補題7
対称行列を直交対角化せよ. 1. −1 3 0 3 −1 0 0 0 −4 (解答例) 復習のために解説入りの長めの解答を書くが, 実際解答する際には適宜省略する こと. まず, 固有値を求める. A = [−1 3 0 3 −1 0 0 0 −4] とおくと, det(A−λE) = 対称固有値問題については既にある程度 の結果が得られているが, 非対称問題については分 かっていない部分も多い. 今後, これらの特性を明 らかにしていくとともに, 大規模固有値解法に対す る有力な解法の一つとして, 効果的な 106 12. 行列の固有値問題 “Numerical Recipes in Fortran 77, Second Edition”, W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, and B.P. Flannery, (Cambridge Univ. Press, 1993) を見ると、3重対角実対称行列の固有値を求めるプログラムが掲載・説明されている。 固有値分解について 対称行列A を変換する縦ベクトル𝑣について、こういうベクトルを考える。 A𝑣=λ𝑣 ここでλ はスカラーである。A と内積をとることで、そのベクトル𝑣 のスカラー倍にでき るベクトルである。 (A−λI)𝑣=0 55 第7章 特異値分解とその応用 7.1 特異値分解 対角化およびスペクトル分解を一般化したジョルダン分解は，正方行列にのみ定義された．非正方行列 でさらに一般化された分解が特異値分解(singularvalue decomposition)である． 【補題7
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